Conference publications

Abstracts

XIV conference

Numerical Solution of the Synthesis Problem for Time Optimal Control Problem

Shulgina K.

Московский государственный университет им. М.ВЛомоносова, ф-т Вычислительной Математики и Кибернетики, каф. Оптимального Управления, Россия, 600017, Владимир, Октябрьский пр-кт, д. 36, кв. 149, (4922)33-42-15, kshulgina@mail.ru

При математическом моделировании процессов и явлений в биологии, экологии, экономики и т.д. часто возникают оптимизационные задачи, формулируемые как нелинейные задачи синтеза по быстродействию, поэтому важно располагать программным инструментарием для построения экстремальных траекторий определенного класса таких задач.

Рассмотрим нелинейную задачу синтеза по быстродействия в Е_n с линейным входом по управлению следующего вида:

x^' = f(x)+B*u, x(T)=x_f, (1)

с начальным состоянием x(0)=x0 из области управляемости. Здесь x – вектор фазовых координат, u – управление, f(x) – гладкая по x n-мерная векторная функция; B(x) – матрица, элементы которой зависят от x гладким образом; предполагается, что det B(x) не равен 0 для всех x; область управления U – гладкий выпуклый компакт в Е_n.

Требуется построить в фазовом пространстве Е_n семейство экстремальных по быстродействию траекторий, приходящих в заданное терминальное множество M.

Методической основой решения задачи (1) служит принцип максимума Понтрягина [1]. Он дополняется специальными техническими приемами: представлением экстремального управления в форме градиента опорной функции области управления и нормировкой сопряженной переменной. Использование процедур сглаживания негладких выпуклых множеств позволяет рассмотреть негладкие области управления U, имеющие форму отрезков, выпуклых многоугольников и эллипсоидов [2].

Численный алгоритм построения экстремальных траекторий в 2-мерном случае реализован в программном пакете Синтез 3.0.

Литература

1. Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. Москва, 1983.

2. Авакумов С.Н. Гладкая аппроксимация выпуклых компактов // Фундаментальные проблемы математики и механики, 1994, № 1. С. 35-36.

3. М.В. Орлов, Е.Б. Чуркин, Численное решение задачи синтеза для задачи быстродействия с линейным входом по управлению // Вестник Московского Университета, 1997, Серия 15, Выч. математика и кибернетика, № 2, С. 35 – 39.