|
Conference publicationsAbstractsXVII conferenceВлияние бонусов на оптимальные стратегии страховой компании в условиях неопределенностиФинансовая Академия при правительстве РФ,Кафедра Прикладной Математики, Россия, 125993, г.Москва, Ленинградский проспект, 49,Тел.:+7(499)9439855, E-mail: juro_87@mail.ru 1Международный институт теории прогноза землетрясений РАН, Россия, г.Москва,Профсоюзная ул. 84/32, В работе построены оптимальные стратегии страховой компании в условиях неопределенности. Предполагается, что компания занимается тремя видами деятельности: (1) страхованием, т.е. сбором премий и выплатой убытков по страховым случаям; (2) инвестированием капитала в безрисковый и рисковый активы; (3) потреблением, т.е. выплатой заработных плат, бонусов, и любых других расходов, не являющимися выплатами по страховым случаям. Капитал страховой компании увеличивается за счет сбора премий которые предполагаются независимыми от момента времени и положительной доходности на финансовом рынке; уменьшается при наступлении страховых случаев и отрицательной доходности финансового рынка. Суммарные убытки за отрезок времени от страховых случаев моделируются сложным пуассоновским процессом. Пусть цена безрискового актива изменяется с постоянной доходностью, а цена рискового актив удовлетворяет геометрическому броуновскому движению: (1) (2), где , , а Винеровский процесс. Пусть - это доля капитала, инвестируемого в рисковый актив, управляющий параметр. Тогда капитал удовлетворяет уравнению: (3) Согласно [Yang, 2005], оптимальные стратегии весьма чувствительны к выбору целевого функционала. Предполагая конкретный вид функции полезности, в [Merton, 1969], [Samuelson, 1969] найдена оптимальная доля капитала, инвестируемого в рисковый актив. В статье [Moore, 2006] изложены многие полученные результаты для задачи наиболее общего типа- оптимальное инвестирование, потребление и деление риска (перестрахование) страховой компании в стохастических условиях при степенной, экспоненциальной и логарифмической функциях полезности. В ряде работ изучено, как влияет потребление фирмы на ее инвестиционные стратегии, (обзор методов приведен в статье [Sennewald ,2006]). В докладе рассматривается задача, в которой компания выплачивает средства по страховым событиям, инвестирует капитал в рисковый и безрисковый активы и расходует часть своего капитала на потребление. Управляющими переменными являются - доля капитала, направляемая в рисковые активы и - величина потребления. Горизонт планирования – неслучайная заданная величина Цель компании – оптимизировать ожидаемые капитал и потребление в соответствии с функцией полезности капитал или потребление. Пусть выражение (4) где -дисконтирующая процентная ставка, определяет максимально достижимый ожидаемый уровень полезности капитала и потребления для компании при условии, что в начальный момент времени капитал Предполагается, что функции полезности удовлетворяют естественным условиям , отражающим соответственно увеличение удовлетворения инвестора при увеличении блага и убывание предельной полезности – первый закон Госсена. В простейшем случае функция полезности (5), является степенной, а при логарифмической. Оптимальная стратегия страховой компании (другими словами, пара максимизирует функционал (4) при ограничении (3) В этой работе будем предполагать, что мгновенное изменение капитала, связанное со случайными выплатами, не влияет на размер мгновенного оптимального потребления, т.е.: .(6) Основным результатом данной работы является следующая теорема: Теорема 1. Пусть выполнены перечисленные выше условия (1)-(6). Тогда динамика оптимального потребления задается формулой:
Если предположить, что функция Беллмана ищется в виде: оптимальная инвестиционная стратегия задается выражением:
Следствие. Если , то оптимальное потребление в среднем возрастает, а если , то оптимальное потребление в среднем убывает. В работе сравниваются две стратегии страховой компании, учитывающие и не учитывающие потребление в целевом функционале. Как следствие из теоремы 1, выведено условие, при котором сумма капитала и потребления в задаче с потреблением больше капитала в задаче без потребления. Это условие задается неравенством:
Полученные результаты позволяют сделать следующие выводы: 1. Чем меньше дисконтирующая процентная ставка , то есть чем пессимистичнее компания оценивает будущее, тем больше должно быть потребление. 2. На рынках с относительно высокой волатильностью, т.е. с большим показателем , расходы на потребление невыгодны. На рынках с относительно малой волатильностью, стимулирование сотрудников с помощью бонусов- эффективное управленческое решение, увеличивающее капитал и потребление компании. 3. Так как неравенство (7) выполняется при относительно малых то стимулировать бонусами своих сотрудников следует компаниям с относительно малым т.е. относительно приемлющих риск.
Список используемой литературы. 1. Yang H., Zhang L. Optimal investment for insurer with jump-diffusion risk process. // Insurance: Mathematics and Economics, 2005. V. 37 P. 615-634. 2. Moore K. S., Young V. R. Optimal insurance in a continious-time model. //Insurance: Mathematics and Economics, 2006, V.39, P.47-68. 3. Samuelson, P. A. Rational theory of warrant pricing. // Industrial Management Review, 1965. V.6, 13.31. 4. R. C. Merton. Lifetime Portfolio Selection under Uncertainy: The Continuos-Time Case.// The review of Economics and Statistics,1969. V.51. P. 247-257. 5. K. Sennewald, K. Lemma” and the Bellman Equation for Poisson Processes: An Applied View. //Journal of Economics, March 2006. Springer-Verlag.
|
