Русский
!

Conference publications

Abstracts

XVII conference

Method of "Computer analogy" for solving of the systems of nonlinear differential equations

Aristov V.V., Stroganov A.V.1

Dorodnicyn Computing Centre of RAS, 119333, Russian Federation, Moscow, Vavilova street, 40, tel. 499-135-20-87, email: aristov@ccas.ru

1Moscow State Institute of Radio-engineering Electronics and Automation, 119545, Russian Federation, Moscow, Vernadskii av., 78, gtsy@mail.ru

1 pp. (accepted)

В [1] описан метод «компьютерной аналогии» для построения решения нелинейных дифференциальных уравнений в явном виде и намечен путь для решения систем дифференциальных уравнений. В настоящей работе мы развиваем этот подход, применяя его для решения уравнения не имеющего квадратур (уравнение Ван дер Поля), сводимого к системе нелинейных уравнений, а также для системы уравнений в частных производных.

Решение системы из двух уравнений с неизвестными u и v ищется в виде отрезков ряда по степеням шага независимой переменной.

Для получения решения на следующем слое можно выбрать любую разностную схему, обеспечивающую сходимость к точному решению. Для сходимости к решению задачи на каждом шаге применяются операции переброса разрядов, вследствие чего коэффициенты отрезков ряда представления решения не превышают величину обратную к шагу по независимой переменной, но за счет операций выделения целой и дробной частей возникают стохастические свойства, это позволяет применять вероятностные методы для осреднения значений коэффициентов. В качестве руководящей схемы выбрана разностная схема первого порядка, тогда коэффициенты старших разрядов представляются в виде функций от коэффициентов линеаризации и некоторого случайного возмущения более высокого порядка малости. Если рассматриваемое приближение не обеспечивает указанной точности, в случае с системой Ван дер Поля происходит выход на решение, отличное от точного, но имеющее предельный цикл.

На примере простого нелинейного дифференциального уравнения показывается также сходимость метода с учетом вклада от стохастических членов. По теореме Бернштейна удается заменить суммы функций перебросов суммами соответствующих математических ожиданий. Такая замена позволяет перейти к вероятностям перебросов, которые можно достаточно легко вычислить.

Литература

1.Аристов В. В., Строганов А. В. Вероятностные аспекты метода «компьютерной аналогии» для решения дифференциальных уравнений // Компьютерные исследования и моделирование, том 1, N 1, 2009, Стр. 21-31.



© 2004 Designed by Lyceum of Informational Technologies №1533