|
Conference publicationsAbstractsXVIII conferenceOn automation of algorithms construction for 3D electromagnetic fields simulation in the frequency domainInstitute of Computational Mathematics and Mathematical Geophysics SB RAS, Russia, 630090, Novosibirsk, prospect Akademika Lavrentjeva, 6. Phone: (+7 383)330-87-83 1 pp. (accepted)Задача моделирования трехмерных электромагнитных полей в частотной области возникает во многих актуальных приложениях: при исследовании и проектировании различных СВЧ-устройств, таких как мобильный телефон, микроволновая печь, антенных устройств, при моделировании компонент микроэлектроники, а также в геоэлектроразведке. Электромагнитное поле в частотной области может быть найдено как решение соответствующей вариационной формулировки краевой задачи комплексного уравнения Гельмгольца. После введения конечномерных подпространств пространств $H_0^{\mathrm{rot}}$ и $H_0^1$ данная задача приводит к системе линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Формирование СЛАУ, как правило, осуществляется на основе поэлементной технологии с вычислением соответствующих локальных матриц и векторов в каждом из конечных элементов сетки. В случае использования тетраэдральных неструктурированных сеток и конечных элементов Неделека выражения для вычисления элементов локальных матриц и векторов могут быть получены в явном виде. Тем не менее, данная задача довольно сложна и сопряжена с большим объемом аналитических выкладок, особенно при использовании базисных функций высоких порядков. Использование сред аналитических вычислений, таких как Maple, Mathematica и др., также затруднительно, поскольку, во-первых, требуется задать им аналитическую модель элементов Неделека, и, во-вторых, необходимо результаты расчетов аккуратно перенести в программный код. В рамках данной работы предлагается система аналитических вычислений, позволяющая найти требуемые выражения в явном виде. Предложена грамматика для задания базисных функций конечномерных подпространств $H_0^{\mathrm{rot}}$ и $H_0^1$. Доказаны теоремы о каноническом виде базисных функций, а также о виде соответствующих им локальных матриц и векторов. Помимо этого предлагается набор эвристик для упрощения и оптимизации получаемых выражений. Для верификации полученных результатов был реализован программный пакет, в состав которого входит парсер предложенной грамматики, символьный оптимизатор выражений и генератор кода для вычисления элементов локальных матриц и векторов. Тестирование проведено на ряде базисных функций различных порядков конечных элементов Неделека первого и второго рода. Полученные выражения согласуются с известными аналитическими, кроме того, вычисляемые конечно-элементные решения демонстрируют требуемый порядок сходимости на последовательностях сгущающихся сеток. |
