Русский
!

Conference publications

Abstracts

XX conference

Метод получения выражений коэффициентов композиции производящих функций

Кручинин В.В., Перминова М.Ю.

Россия, г. Томск, пр. Ленина 40

1 pp. (accepted)

Производящие функции являются эффективным инструментом решения разнообразных математических задач, для которых известны операции сложения, вычитания, произведения, деления, дифференцирования и~интегрирования. Однако операция нахождения выражений коэффициентов композиции производящих функций до настоящего времени не автоматизирована и~является достаточно трудоемкой задачей. Известно~\cite{Marcushevich}, что для нахождения выражений коэффициентов композиции производящих функций $A(x)=R\bigl(F(x)\bigl)$, где $F(x)=\sum\nolimits_{n>0} f(n)x^n$ $F(x)=\sum\nolimits_{n\geq 0} r(n)x^n$ необходимо

\begin{equation}\label{kru1}

a(n)=\left\{

\begin{array}{ll}

r(0), & n=0,\\

\sum\limits_{k=1}^n F^{\Delta}(n,k)r(k),& n>0.\\

\end{array}

\right.

\end{equation}

где $F^{\Delta}(n,k)$ являются коэффициентами производящей функции $F(x)^k=\sum_{n\geq k} F^{\Delta}(n,k)x^n$, для краткости назовем этот коэффициент композитой. При этом, как видно из~(\ref{kru1}), композита $F^{\Delta}(n,k)$ неизменна для всех композиций $R\bigl(F(x)\bigl)$, где $F(x)$ --- фиксирована, $R(x)$ --- произвольная. Теперь рассмотрим операции над композитами $F^{\Delta}(n,k)$. Исследования~\cite{KruCompositae} показали, что зная для $F(x)$ --- $F^{\Delta}(n,k)$ можно получить соответствующие композиты для $\alpha F(x)$ и~$F(\alpha x)$, обратной поизводящей функции $\bigl[F(x)\bigl]^{-1}$, композиты для функционального уравнения $A(x)=xG\bigl(A(x)\bigl)$. А~зная еще композиту для $G(x)$ --- $G^{\Delta}(n,k)$ можно получить композиты суммы производящих функций $F(x)+G(x)$, произведения $F(x)G(x)$, частного $F(x)/G(x)$, для $G(0)!=0$ и~композиции $G\bigl(F(x)\bigl)$. Предлагаемый метод был апробирован с~использованием онлайн энциклопедии целых последовательностей~\cite{OEIS}. Было получено и~вписано свыше 500 выражений коэффициентов композиций производящих функций. Например, для экспоненциальной производящей функции $\exp\bigl(\sin(x)\bigl)=1+\sum_{n>0}a(n)\cfrac{x^n}{n!}$ выражение коэффициента, записанного в~OEIS под номером A002017, имеет вид:

$$ a(n)=2\,\sum_{j=0}^{{{n-1}\over{2}}}{{{\frac{2^{2\,j-n}}{\left(n-2\,j\right)!}\,\sum_{i=0}^{{{n-2\,j

}\over{2}}}{\left(2j+2i-n\right)^{n}\,\left(-1\right)^{n-j-i}\,

{{n-2\,j}\choose{i}}}}}}.$$

\begin{thebibliography}{4}

\bibitem{Marcushevich} Маркушевич А. И. Теория аналитических функций. т. 1: Начала теории. Изд. 2-е.\ --- М.: Наука, 1967.\ --- 486~с.

\bibitem{KruCompositae} V.~V.~Kruchinin, Compositae and their properties, preprint, http://arxiv.org/abs/1103.2582.

\bibitem{OEIS} www.oeis.org.

\end{thebibliography}



© 2004 Designed by Lyceum of Informational Technologies №1533