|
Conference publicationsAbstractsXXIV conferenceIdentities on a sphere for normal derivatives of polyharmonic functionsSouth Ural State University 1 pp. (accepted)Хорошо известно (см. например, [1], что для гармонической в единичном шаре $S\subset {{\mathbb{R}}^{n}}$ функции $u\in C^{m}(\bar S)$ верно равенство $\int_{\partial S}\frac{\partial^m u}{\partial \nu^m}\,ds_x=0$, $m\in\Bbb N.$ В настоящей работе выясняется какие еще равенства такого вида могут иметь место для нормальных производных от $k$-гармонических в $S$ функций $u(x)$, т.е. таких функций, что $\Delta^ku=0$ в $S$. В работе [2] исследовано свойство среднего для полигармонических функций и получены некоторые результаты, на основании которых выполнено настоящее исследование. Пусть полиномы $P_n(t)$ находятся из рекуррентного равенства $P_n(t)+ (2n-3)P_{n-1}(t)=t^2P_{n-2}(t), \quad n\ge2,$ где следует считать, что $P_0(t)=1$, ${{P}_{1}}(t)=1$. Теорема 1. Для всякой $m$-гармонической в $S$ функции $u\in C^{k}(\bar S)$ при $k\ge m$ верны равенства
$\int_{\partial S}P_{m-i}\Big(\frac{\partial}{\partial\nu}\Big)\frac{\partial^{2i}u}{\partial\nu^{2i}}\,ds_x=0$, $\int_{\partial S}\frac{\partial^{j}u}{\partial\nu^{j}}\,ds_x=0,$ где $0\le i\le m-1$ и $2m\le j\le k$ при $2m\le k$.
В работе [3] при исследовании арифметического треугольника, возникающего из условий разрешимости задачи Неймана для полигармонического уравнения был получен арифметический треугольник, похожий на арифметический треугольник, который составляют коэффициенты полиномов $P_n(t)$.
Литература
1. Карачик В.В. О свойстве среднего для полигармонических функций в шаре // Математические труды, том 16, номер 2, год 2013. Стр. 69-88. 2. Karachik V.V. On the mean-value property for polyharmonic functions // Вестник Южно-Уральского государственного университета. Серия: Математическое моделирование и программирование, том 6, номер 3, год 2013, Стр. 59-66. 3. Карачик В.В. Об арифметическом треугольнике, возникающем из условий разрешимости задачи Неймана // Математические заметки, том 96, номер 2, год 2014, Стр. 228-238.
|
