Архив публикаций

Тезисы

XIII-ая конференция

Решение краевых задач с помощью S-сплайнов

Силаев Д.А., Коротаев Д.О.

Россия, 119899, Москва, Ленинские горы, МГУ, И-63 Москва. 119454, ул. Лобачевского, д.24, кв.25

Рассматривается применение S-сплайна (кусочно-полиномиальной функции, первые коэффициенты которой определяются условиями гладкой склейки, а все остальные – методом наименьших квадратов) для решения краевых задач. Особенностью таких сплайнов является их полулокальность, т.е. каждый полином неявно зависит от тех значений функции, которые участвуют в определении предыдущих полиномов и не зависят от значений функции, определяющих последующие полиномы. S-сплайн на круге определяется как комбинация периодического S-сплайна по φ и непериодического по r, S-сплайн на квадрате определяется как комбинация непериодических S-сплайнов по x и y. S-сплайн может быть представлен как линейная комбинация базисных S-сплайнов (BS-сплайнов). BS-сплайн строится как S-сплайн по таблице, в которой лишь одно значение равно единице, а остальные равны нулю. Такое представление S-сплайна позволяет получить его явное выражение как кусочно-полиномиальной функции двух переменных (на круге или квадрате); т.е. вся область разбивается на квадраты, в каждом из которых сплайн представлен полиномом 2-х аргументов. Подобным образом представляется S-сплайн и на 3-х мерных областях.

Представление S-сплайна в виде линейной комбинации BS-сплайнов позволило применить его для решения дифференциальных уравнений. Для этого мы рассматриваем произвольную линейную комбинацию базисных S-сплайнов; далее применяется метод Галеркина, результатом которого является система линейных уравнений на коэффициенты в линейной комбинации. Эта система замыкается граничными условиями. Сходимость данного метода обусловлена сходимостью S-сплайнов к приближаемой функции. Таким образом, был получен 4-й порядок сходимости. Особенностью данного метода является то, что он может применяться на сложных областях. В качестве примера рассматривается задача решения уравнения Лапласа в таких областях как круг с разрезом, “восьмерка” с граничными условиями, имеющими разрыв в средней точке.

Литература.

1. Силаев Д.А. и др. Приближение S-сплайнами гладких функций // В кн.: Труды семинара имени И.Г. Петровского. 1984. В. 10, М., изд-во МГУ, Стр.197

2. Амилющенко А.В., Лукьянов А.И., Силаев Д.А. Применение сплайна

для приближения гладких периодических функций // Вестник Московского

университета. 1996 г. N6, Материалы международной конференции и

Чебышевских чтений, посвященных 175-летию Чебышева. Том 1, Стр. 22-25.