Архив публикаций

Тезисы

XV-ая конференция

Некоторые свойства вершин политопа разбиений чисел

Шлык В.А.

Белорусский государственный педагогический университет, Беларусь, 220050, Минск, Советская 18, 375-17-2264480, v.shlyk@gmail.com

В докладе освещаются последние результаты, полученные с использованием предложенного автором полиэдрального подхода к классической задаче о разбиениях чисел [1, 2]. Множество неупорядоченных разбиений натурального числа n рассматривается как политоп (ограниченный многогранник) , являющийся выпуклой оболочкой множества векторов инцидентности всех разбиений . Ранее была получена характеризация всех фасет политопа . Сейчас основное внимание направлено на описание его вершин.

Предложен неполиномиальный лифтинг-алгоритм построения всех вершин политопа разбиений. Установлен критерий представимости заданного разбиения в виде выпуклой комбинации двух других разбиений. Критерий позволяет указать необходимое условие для вершин политопа и дать точную оценку числа различных частей в разбиениях-вершинах. Вершинам политопов разбиений соответствуют введенные в работе мультимножества, родственные известным в аддитивной теории чисел множествам Сидона; на мультимножества Сидона переносятся полученные оценки.

Для описания большинства известных политопов через его вершины необходимо знать полный набор вершин. Результаты работы показывают, что в случае политопа разбиений имеет место необычная ситуация. Арифметическая природа разбиений позволяет избежать вычисления всех вершин , ограничившись поиском небольшого числа вершин, являющихся опорными. Все остальные вершины можно построить из них с помощью двух комбинаторных операций укрупнения частей разбиения. Вопросы о том, как построить множество опорных вершин для заданного n и какова его мощность, остаются пока открытыми. Так же, как и аналогичные вопросы для множества всех вершин .

Литература.

1. Шлык В.А. Polytopes of Partitions of Numbers // European Journal of Combinatorics, Vol. 26/8, 2005. pp. 1139-1153.

2. Шлык В.А. Полиэдральный подход к задаче разбиения чисел // Математика. Компьютер. Образование. Тезисы. Вып. 13, под ред. Г.Ю. Ризниченко. (Тринадцатая Междунар. Конф. "Математика. Компьютер. Образование.", г. Дубна, 23 - 28 янв. 2006г.), М.-Ижевск: РХД, 2006, С.37.

• открыть в PDF формате