English
!

Архив публикаций

Тезисы

XX-ая конференция

Запреты для схем М-кривых нечётной степени с максимально глубокими гнездами

Полотовский Г.М.

Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского, Россия, polotovsky@gmail.com

1  стр. (принято к публикации)

Задача о расположении ветвей неособых алгебраических кривых в проективной плоскости представляет собой часть известной 16-ой проблемы Гильберта. В этой задаче параллельно развиваются два направления: построения кривых с предписанной топологией и доказательство оганичений на расположения ветвей. Один из важных результатов второго направления -- доказательство

О.Я. Виро ([1], 1983 г.) несуществования вещественной алгебраической кривой степени 7, состоящей из нечётной ветви $J$ и 14 овалов вне друг друга, охватываемых ещё одним овалом.

Настоящая работа представляет собой попытку перенести доказательство Виро на случай $M$-кривых большей нечётной степени.

Опишем применяемую ниже кодировку вещественных схем неособых алгебраических кривых. Нечётная ветвь обозначается символом $J$. Схема, состоящая из $n$ овалов, расположенных вне друг друга, обозначается как $\langle n\rangle $. Если $A$ и $B$ -- коды каких-то схем, то $ A\bot B $ обозначает такое объединение схем $A$ и $B$, что их внешние овалы расположены вне друг друга, а $ 1 \langle A\rangle $ обозначает схему, полученную из схемы $A$ добавлением одного овала, охватывающего все овалы схемы $A$.

{\it Гнездом веса $s$} называется набор $s$ овалов, последовательно охватывающих друг друга. Примером гнезда веса 2 является схема $1\bot \langle 1\rangle$.

В описанной кодировке интересующий нас здесь результат Виро из [1] можно переформулировать так: не существуют кривые степени 7, имеющие вещественную схему $J \bot 1 \langle 14 \rangle $.

С точки зрения доказательства этого утверждения, предложенного О.Я. Виро, аналогом этой схемы являются $M$-схемы нечётной степени с гнездами максимального веса, все пустые овалы которых охватываются всеми непустыми овалами. В работе исследуется справедливость следующего утверждения:

{\bf Гипотеза.} {\it При $k\geq 3$ не существуют $M$-кривые степени $d=2k+1$ со схемой вида

$$ J \bot \underbrace{ 1 \langle 1 \langle \dots \langle 1 \langle}_{k-2 \mbox{ единиц}}2(k^2-k+1) \rangle \rangle \dots \rangle \rangle . $$

}

В настоящий момент утверждение этой гипотезы доказано для нечётных степеней $d\leq 17$ и ещё для некоторых специальных случаев.

Работа поддержана грантом ФЦП "Кадры" №14.В37.21.0361.

Литература

[1] Виро О.Я. Плоские вещественные кривые степеней 7 и 8: новые запреты // Изв. АН СССР. Сер. матем. -- 1983.-- Т.47, N5.-- С.1135 -- 1150.



© 2004 Дизайн Лицея Информационных технологий №1533