|
Архив публикацийТезисыXXI-ая конференцияАсимптотический и численный анализы параметрического резонанса в нелинейной системе двух осцилляторовИнститут Математики СОРАН, 630090, Новосибирск, пр.Коптюга,4 1Институт теоретической и прикладной механики СОРАН, 630090, Новосибирск, ул. Институтская, 4/1 В \cite{bel} построена математическая модель водонефтяных газосодержащих слоистых систем. Показано, что при периодических внешних возмущениях в линеаризованной распределенной системе возникает параметрический резонанс, приводящий к разрушению всей системы. В данной работе \footnote{Работа выполнена при финансовой поддержке Программы фундаментальных исследований Президиума РАН № 15 и Междисциплинарного Интеграционного Проекта СОРАН № 30.} рассматривается задача Коши для нелинейной системы двух осцилляторов \begin{equation} \label{eq:luleq1} (\dfrac{d^2}{dt^2}+\sigma_1^2)u=f, \end{equation} \begin{equation*} (\dfrac{d^2}{dt^2}+\sigma_2^2)f=q((\dfrac{d^2}{dt^2}+\omega_1^2)u^2+\varepsilon(\dfrac{d^2}{dt^2}+\omega_2^2) (u sin(\omega t))), \end{equation*} являющейся модельной для нелинейной системы в \cite{bel}. Здесь $q > 0$ - малый параметр, $\omega$ - частота внешнего возмущения, $\varepsilon >0$ - амплитуда внешнего возмущения, $\sigma_1, \sigma_2, \omega_1, \omega_2 >0$ - параметры модели.
В \cite{lul} доказано, что при частоте $\omega=2\sigma_1$ в ~\eqref{eq:luleq1} возникает основной резонанс, а при частоте $\omega=\sigma_1+\sigma_2$ - комбинационный резонанс. Для исследования характера неустойчивости нулевого решения системы ~\eqref{eq:luleq1} используется метод Крылова-Боголюбова, позволяющий свести эту задачу к анализу нелинейной автономной усредненной системы, соответствующей ~\eqref{eq:luleq1}. В \cite{lul} построены фазовые портреты и найдены независимые интегралы усредненных систем, позволяющие находить максимальную амплитуду колебаний при резонансах.
Цель настоящей работы - численное решение исходной системы и сравнение полученных решений с решениями, найденными с помощью метода усреднения. Для расчета исходной системы используется 6 - стадийная, сохраняющая сильную устойчивость (SSP, Strong Stability Preserving) схема Рунге-Кутты 5-го порядка, позволяющая воспроизводить точное решение даже на очень больших временах. \begin{thebibliography}{100} \bibitem{bel} \textit{Белоносов В.С., Доровский В.Н. и др.} Гидродинамика газосодержащих слоистых систем// \textit{Успехи механики} \textbf{3}, 2, 2005. Стр.37-70. \bibitem{lul} \textit{Люлько Н.А.} Основной и комбинационный резонансы в нелинейной системе двух осцилляторов //\textit{Препринт} № 281, ИМ СОРАН, 2012, 33 стр. \end{thebibliography}
\end{document} |
