|
Архив публикацийТезисыXXXIII-ая конференцияО фрактальных структурах в треугольнике ПаскаляУральский федеральный университет имени первого президента России Б. Н. Ельцина, E-mail: podolskyv@yandex.ru 1 стр. (принято к публикации)Множество нечетных биномиальных коэффициентов, отображенных на плоскость в виде точек, имеет структуру треугольника Серпинского [1]. Обобщением этого случая является множество биномиальных коэффициентов, равных по $p$-адической норме, и это множество так же обладает фрактальной структурой [2]. Существующие подходы к оценке свойств фракталов описаны в теории меры и применимы к несчетным множествам. Рассмотренное множество счетно, соответственно цель данной работы состоит в обобщении методов оценки свойств фрактальных множеств, в частности вычисления фрактальной размерности, на счетные множества. Отобразив биномиальные коэффициенты, равные по $p$-адической норме, в единичный квадрат в виде точек можно задать такое покрытие этого множества точек кругами, что количество кругов покрытия будет равно мощности множества. В [1] описан рекуррентный алгоритм вычисления числа биномиальных коэффициентов, равных по $p$-адической норме, из чего следует, что мощность множества можно вычислить по формуле $$N_p^l(n)=\frac{p^2+p}{2}N_p^l(n-1)+\left(\frac{p^2-p}{2}\right)^{\!\!2}\sum_{i=1}^{l-1}\left({\left(\frac{p^2+p}{2}\right)}^{\!\!i-1}\!\!\!\!N_p^{l-i}(n-1-i)\right).$$ Тогда для вычисления фрактальной размерности множества по Минковскому нужно вычислить предел $$\lim_{\varepsilon\to 0}\frac{\ln N_\varepsilon}{-\ln \varepsilon}=\lim_{n\to\infty}\frac{\ln(N_p^l(n))}{-\ln(1/p^n)}.$$ Построив нижнюю и верхнюю оценки функции $N_p^l(n)$, по теореме о предельном переходе в неравенстве получаем $$\lim_{n\to\infty}\frac{\ln(N_p^l(n))}{-\ln(1/p^n)}=\log_p\frac{p^2+p}{2}.$$ Из проведенного исследования сделаны следующие выводы: описанное множество имеет фрактальный характер, все описанные фракталы разбиваются на классы по размерности в соответствии со значением $p$. Счетное множество может рассматриваться как фрактал. Следует проводить дальнейшие исследования применимости результатов, полученных для несчетных множеств к счетным, имеющим фрактальные свойства. Литература. 1. Абачиев С. К. О треугольнике Паскаля, простых делителях и фрактальных структурах // В мире науки, 1989, № 9. Стр. 75-78. 2. Bannik T., Buhrman H. Quantum Pascal's Triangle and Sierpinski's carpet // preprint arXiv:1708.07429, 2017. Стр. 8-12. 3. Коблиц Н. p-адические числа, p-адический анализ и дзета-функции – М.: Мир,\\ 1981, 192стр. |
