Архив публикаций

Тезисы

XXII-ая конференция

Качественный анализ динамики в двумерной и трехмерной задачах А.Н.Колмогорова течения вязкой несжимаемой жидкости

Евстигнеев Н.М.¹, Силаев Д.А.²

1 Институт Системного Анализа Российской Академии Наук., лаб.11-3 ''Хаотические динамические системы'', с.н.с, 117312, Москва, проспект 60-летия Октября, 9. 8(495)998-7683, evstigneevnm@yandex.ru

¹2 МГУ им. М.В. Ломоносова, Механико-Математический Факультет, Кафедра Общих Проблем Управления, доцент, 119234, Москва, ул.Ленинские горы, д1, 8(495)939-5632, DASilaev@mail.ru

1  стр. (принято к публикации)

Работа посвящена качественному исследованию ламинарно-турбулентного перехода.

Ставится начально-краевая задача А.Н. Колмогорова для уравнений Навье-Стокса на двумерном и трехмерном торе.

Проводится краткий анализ литературы и показываются найденные ранее механизмы усложнения решений с увеличением числа Рейнольдса. Делается предположение, что усложнение решения может быть описано системой бифуркаций стационарных и нестационарных решений.

Для численного решения используется два метода: псевдо--спектральный метод и метод Галеркина. В качестве базисных функций используются S-сплайны, разработанные Д.А.Силаевым. Данные сплайны обладают заданной степенью гладкости и высоким порядком аппроксимации (используются сплайны класса $C_2$, девятой степени).Для двумерной задачи доказывается эквивалентность постановки в формулировке ''функция тока-завихренность'', сходимость метода Галеркина и показываются критерии устойчивости. Кратко приводятся сопоставления с результатами других авторов, а также с псевдо--спектральным методом. Для трехмерной постановки показывается сходимость метода Петрова-Галеркина, в котором базисные функции являются S-сплайнами, а тестовые функции выбираются из полиномов Якоби.

Для двумерной задачи проводится бифуркационный анализ. С увеличением числа Рейнольдса для двухмерной задачи было найдены следующие бифуркации:

$PF \to C \to T \to T 2 \to ... \to T3 \times 2 \to ... \to T7 \to T5 \to T3 \to Ch.$

Где: $PF$ - бифуркация вилки, $C$ - цикл (бифуркация Андронова-Хопфа), $T$ - тор (бифуркация Андронова-Хопфа); $\times 2$ - удвоение периода (каскад Фейгенбаума); $Tn$ - тор периода $n$; $Ch$ - хаос.

Таким образом, полностью найден каскад Шарковского, что раньше не было найдено. Как известно, после тора периода три ($T3$), наступает хаос. Для трехмерной задачи показаны результаты решения, проводится сопоставление с аналитическим двумерным решением в квазидвумерной постановке. Показывается наличие бифуркаций типа вилки.

• открыть в PDF формате (на русском языке) (PDF)