Conference publications

Abstracts

XIII conference

Dynamic windows in chaotic modes of discrete maps

Chernavskii D.S., Nikitin A.P.¹, Chernavskaya O.D., Krivosheev O.I., Schepetov D.S.

Lebedev Physics Institute, Moscow, Leniski prosp. 53; E-mail: chernav@lpi.ru

¹General Physics Institute, Moscow, ul. Vavilova, 38; E-mail: apnikitin@nsc.gpi.ru

1 pp.

Явление динамического хаоса в одномерных дискретных отображениях x_i+1=F(ν, x_i) давно и хорошо известно. В закритической области управляющего параметра ν > ν_cr обнаруживается сложная картина областей, соответствующих хаотическим режимам и так называемым «окнам» динамических периодических режимов. Кубическое отображение x_i+1=ν(x_i-x_i³) представляет особый теоретический и практический интерес. В частности, оно может служить простой моделью такого понятия теории динамических систем как «перемешивающий слой».

Проблема возникновения и исчезновения динамических окон важна как в фундаментальном, так и в прикладном аспектах. Так, упомянутые выше отображения часто используются в естественных и технических науках, а также в экономике и социологии. Во всех случаях речь идет о прогнозировании поведения системы. В хаотическом режиме горизонт прогнозирования ограничен. В случае же образования «окна» горизонт прогнозирования бесконечен. Переход в «окно» и выход из него зависит от характера изменения управляющего параметра, от начальных условий и, что особенно важно, от деталей расчетной схемы при компьютерном моделировании.

Отображения и динамический хаос были открыты и исследованы как некий мате-матический объект. Математические результаты в этой области основываются либо на очень точных компьютерных, либо на аналитических расчетах. Во всех физических, технических, экономических, социальных приложениях все наблюдаемые и измеряе-мые величины регистрируются, а затем используются в расчетах с некоторой точностью. Вообще говоря, любая реальная система погружена в шумовое поле, влияние которого и определяет достоверность последней значащей цифры. Это означает, что в реальных задачах точность исходной информации (например, временного ряда) всегда ограничена, и мы имеем дело с округленными величинами. Поэтому и точность расчета должна быть адекватна целям конкретной задачи. Обработка данных в рамках модели с большей точностью не только не целесообразна, но может привести к артефактам.

В настоящей работе проведено аналитическое исследование возникновения дина-мических окон и их структурной (параметрической) устойчивости. Обсуждается про-блема влияния вариантов округления (динамического или стохастического) на характеристики отображения. В частности, оказывается, что от варианта округления зависит появление артефактов того или иного рода. Представленные результаты могут быть полезны и актуальны в тех случаях, когда наблюдаемый временной ряд в действительности порожден каким-либо сравнительно простым дискретным отображением, а входные величины определены с некоторой фиксированной точностью.

Работа выполнена при поддержке грантов РГНФ №04-03-00069а и НШ-2071.2003.4.