|
Conference publicationsAbstractsXIX conferenceThe problem of constructing the Hamiltonian function of the electromagnetic fieldPeoples' Friendship University of Russia, Russia, 117198, Moscow, Miklukho-Maklaya str., 6, dharma@mx.pfu.edu.ru, akorolkova@sci.pfu.edu.ru 1 pp. (accepted)В случае применения численных методов для решения задач электродинамики практикуется приём дискретизации системы динамических уравнений. Однако, существует проблема соответствия решений дискретного и непрерывного уравнений. Зачастую дискретные уравнения дают хаотические решения, заведомо отсутствующие в непрерывном случае. Для обеспечения согласованности решений непрерывной и дискретной систем уравнений необходимо наложить определённые условия на процесс дискретизации, например, потребовать сохранения каких-либо инвариантов. В частности, в методе вариационных интеграторов [1, 2] предполагается сохранение симплектической формы (следовательно и группы движений), что приводит к задаче построения гамильтониана исходной системы. Уравнения Максвелла с источником задают пресимплектическую форму (т.е. гамильтониан со связями). Однако для уравнений Максвелла без источников возможно построение симплектической формы, соответственно и построение гамильтониана. В работе рассмотрены уравнения Максвелла без источников, для которых несколькими методами найден гамильтониан в произвольной криволинейной системе координат и в разных представлениях (в частности, в векторном и импульсном представлениях). Гамильтониан в данном случае требуется для построения симлектического интегратора (вариант вариационного интегратора, сохраняющий симплектическую форму). Физически поле без источников соответствует волноводу. Обычно ограничиваются рассмотрением уравнений Максвелла в декартовых системах координат, избегая изначальной записи системы в криволинейных координатах. При этом переход к криволинейным координатам осуществляется явным преобразованием систем координат, что порождает отсутствие общности и наглядности данного подхода. В нашем случае уравнения Максвелла и гамильтониан имеют явно ковариантную форму. Это упрощает операции с уравнениями Максвелла и гамильтонианом, поскольку имеется их запись для произвольной криволинейной системы координат. Литература. 1. Marsden J.E. and West M. Discrete mechanics and variational integrators, Acta Numerica 10, 357-514, 2001. 2. West M. Variational integrators, Ph.D. thesis, California Institute of Technology, 2004.
|
