Архив публикаций

Тезисы

XIV-ая конференция

Ограниченность полутраекторий и точка максимального вырождения обобщённой вольтерровской модели экосистемы двух трофических уровней

Апонин Ю.М., Апонина Е.А.

Институт математических проблем биологии РАН Россия, 142290, г. Пущино, ул. Институтская 4 Тел.:(27)73-38-29, факс: (27)33-05-70, e-mail: yma@impb.psn.ru

Рассматривается математическая модель системы продуцент – консумент с учётом существования нижней критической плотности популяции продуцента. Модель представляет собой систему двух обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ), зависящую от семи параметров: Параметры входят в выражение для удельной скорости изменения популяции продуцента и интерпретируются соответственно как ёмкость среды, нижняя критическая плотность и мобильность. При этом мобильность понимается как мера способности популяции сравнительно быстро реагировать на резкие изменения её численности, вызванные внешними воздействиями. Трофические взаимодействия между продуцентом и консументом предполагаются вольтерровскими и характеризуются двумя параметрами и , где – константа скорости роста (выедания) популяции консумента (продуцента). Параметр характеризует дополнительную нагрузку на популяцию продуцента (консумента), возникающую, например, при увеличении интенсивности её промысла. При микробиологической интерпретации модели вариации параметров и связываются с изменениями скорости протока хемостатного режима культивирования микроорганизмов.

Множество имеющих биологический смысл состояний модели представлено в виде стратифицированного пространства, составленного как из блоков из гладких инвариантных многообразий соответствующей системы ОДУ. Показано, что любая положительная полутраектория этой системы ограничена в пространстве состояний.

Установлено существование точки максимального вырождения (ТМВ) при построении бифуркационной диаграммы в плоскости управляемых параметров . Эта точка играет роль организующего центра системы: все бифуркационные линии и области однотипного поведения ответвляются от этой точки.

При исследовании модели в окрестности ТМВ применяется метод замены переменных. Построена аналитическая замена переменных и параметров, позволяющая представить преобразованную систему в виде возмущения некоторой гамильтоновой системы. При этом параметры возмущения характеризуют отклонения управляемых параметров от их значений в ТМВ. Гамильтониан невозмущённой системы находится в явном виде, что существенно упрощает задачу аналитического исследования бифуркаций, происходящих в малой окрестности ТМВ.