|
Архив публикацийТезисыXX-ая конференцияО мультипликаторах матриц операторов, связанных с интерполяционными пространствамиКурский государственный университет Физико-математический факультет, каф. математического анализа и прикладной математики, Россия, 305 000, г. Курск, ул. Радищева, 33, Тел. +7(4712)56-80-61 E-mail: kabankom@mail.ru 1 стр. (принято к публикации)Известно, что мультипликаторы матриц линейных ограниченных операторов, действующих в гильбертовом пространстве $H$ не всегда являются ограниченными операторами, действующими в алгебре $B(H)$. Самый известный пример таких мультипликаторов -- это оператор треугольного усечения. Этот оператор представляет собой произведение матрицы оператора на характеристическую функцию индексов $\chi_{\Delta}(i,j)$, где $\Delta=\{(i,j)\in \mathbb{N}|j\leq i\}$. При этом верна оценка, полученная В.И. Мацаевым, для нормы этого оператора $\frac{1}{c}\ln(1+n)\leq \|\chi_{\Delta_n}\|\leq c\ln(1+n)$ при $\Delta=\{(i,j)\in \mathbb{N}|j\leq i\leq n\}$. (см. \cite{Dav}) Пусть $\overline{H}=\{H_0,H_1\}$ -- гильбертова пара, где $H_0=l_2(2^{-n}G_n)$, $H_1=l_2(2^{n}G_n)$ и $G_n=\mathbb{C}$ для всех $n\in \mathbb{Z}$. Обозначим $B(\overline{H})$ алгебру ограниченных операторов, действующих в паре $\overline{H}$. Известно, что (см., например \cite{K}) если оператор $A\in B(\overline{H})$, то элементы матрицы этого оператора удовлетворяют некоторым весовым условиям, точнее $|a_{ij}|\leq \|A\|_{B(\overline{H})}2^{-|i-j|}$. Таким образом элементы матрицы стоящие на диагоналях будут равномерно ограничены. Естественным будет рассмотрение представления алгебры $B(\overline{H})$ в интерполяционных пространствах между $H_0$ и $H_1$, например в $l_2(G_n)$, обозначаемое $(l_2(G_n),\varphi)$ (см. \cite{KO}). При этом образ $\varphi(B(\overline{H}))$ является подалгеброй в $B(l_2(G_n))$. Пусть $M=(m_{ij})_{i,j=-\infty}^{\infty}$ некоторая матрица, тогда будем обозначать $M\circ A$ -- произведение Адамара-Шура, имеющее матрицу $(m_{ij}a_{ij})_{i,j=-\infty}^{\infty}$ относительно оператора $A$. {\bf Теорема.} Если $A\in \varphi(B(\overline{H}))$, то оператор $\chi_{\Delta}(i,j)\circ A$ является ограниченным оператором в пространстве $l_2(G_n)$. Это означает, что оператор $\chi_{\Delta}(i,j):\varphi(B(\overline{H}))\longrightarrow l_2(G_n)$ является мультипликатором Шура. Более того, легко показать, что если $M\in l_{\infty}(\mathbb{Z}^2)$, то $M\circ A$ также будет мультипликатором Шура при $A\in \varphi(B(\overline{H}))$. Таким образом, в алгебре $B(l_2(G_n))$ возникает естественная подалгебра $\varphi(B(\overline{H}))$, для которой мультипликаторами Шура являются все элементы алгебры $l_{\infty}(\mathbb{Z}^2)$. \begin{thebibliography}{100} \bibitem{Dav} \textit{Davidson K.} Nest algebras. Tringular forms for operator algebras on Hilbert space// \textit{Pitman Res. Notes Math. Ser.} \textbf{191}, Longman Sci. and Tech., Harlow, 1988. \bibitem{K} \textit{Кабанко М.В.} Алгебра операторов, действующих в гильбертовой паре// \textit{Труды математического факультета ВГУ} \textbf{6}, Воронеж, 2001. С. 54-61. \bibitem{KO} \textit{Кабанко М.В., Овчинников В.И.} О некоторых представлениях алгебры операторов в гильбертовой паре// \textit{Труды математического факультета ВГУ} \textbf{5}, Воронеж, 2001. С. 32-40. \end{thebibliography} |
