English
!

Архив публикаций

Тезисы

XXIII-ая конференция

$C^1$-решения эйконала

Царьков И.Г.

Московский государственный университет имени М.В.Ломоносова, Механико-математический факультет, кафедра математического анализа. Россия, 119889, г. Москва, Ленинские горы, E-mail: tsar@mech.math.msu.su

1  стр. (принято к публикации)

Светлой памяти Силаева Д.А. посвящается.

В работе изучаются классические $C^1$-решения уравнения эйконала: $\|\nabla u(x)\|_{X^*}=n(x)$ на банаховом пространстве $X ,$ где $n\in C(X,\mathbb{R}):$ $n>0$ -- коэффициент преломления.

Теорема 1. Пусть $X^*$ $($сопряженное к $X$ пространство$),$ является равномерно выпуклым, и $n\equiv 1.$ Тогда все $C^1$-решения уравнения эйконала принимают вид $u(x)=C+\langle x^*,x\rangle,$ где $x^*\in X^*$ -- произвольный линейный непрерывный функционал единичной нормы.

Отметим, что условию равномерной выпуклости $X^*$ удовлетворяют пространства $L_p $ и $\ell_p $ при $p\in (1,+\infty),$ и в частности пространства $\mathbb{R}^n$ и $\ell_p^n $ $(1 < p < +\infty)$ (см [1-2]). Следующая теорема показывает, что если коэффициент преломления стремится к постоянному значению на бесконечности, то единственность $C^1$-решения уравнения эйконала определяется лишь его значением и направлением его градиента в некоторой произвольной точке.

Теорема 2. Пусть $X^*$ является равномерно выпуклым пространством и $n(x)=c+\overline{\overline{\rm o}}(1)$ при $x\rightarrow\infty$ $(c>0).$ Тогда для любой точки $x_0\in X,$ значения $u(x_0)$ и $\nabla u(x_0)$ однозначно определяют $C^1$-решение уравнения эйконала (в случае, конечно, когда это решение существует).

Литература.

1. Балаганский В.С., Власов Л.П. Проблема выпуклости чебышевских множеств // Успехи математических наук. 1996. Т. 51, No 6(312), С. 125-188.

2. Алимов А.Р., Царьков И.Г. Связность и другие геометрические свойства солнц и чебышевских множеств // Фундаментальная и прикладная математика. 2014. Т.63, No 4, С. 21-91.



© 2004 Дизайн Лицея Информационных технологий №1533